دانلود مقاله مقایسه چگالی حالت ها در نیم-رساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی

مقدمه: محققان زیادی در سراسر جهان، به مطالعه­ی نظری و آزمایشگاهی خواص ریزساختارهای اشتغال دارند.

اگرچه حجم گزارش­ها از دستاوردهای آزمایشگاهی در مقایسه با تحقیقات بنیادی بسیار بیشتر است امّا با در اختیار گرفتن کامپیوترهای با قدرت پردازش بالا، مطالعات نظری در مورد نانوساختارها نیز در حال افزایش می­باشد.

با وجود اینکه در این پایان­نامه، بیشتر بر کارهای آزمایشگاهی تمرکز شده، لیکن در ابتدای این فصل، یکی از مطالعات ساده نظری در مورد نانوساختارها یعنی "مقایسه چگالی حالت­ها در نیم­رساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی" ارائه می شود.

سپس در ادامه، مبانی آنالیزهائی که در فصل­های آینده از آن­ها برای مطالعه خواص نانوذرّات بهره گرفته می­شود به طورخلاصه معرفی خواهند شد.

2-1 مقایسه چگالی حالت­های نیم­رساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی 2-1-1 محاسبه چگالی حالت­ها در نیم­رساناهای حجیم هر الکترون با بردار موج و اسپین S می­تواند حالت­های ممکن انرژی که با نشان داده می­شوند را با احتمال بین صفر و یک اشغال کند.

چون مطابق اصل طرد پائولی، هر حالت کوانتومی حدّاکثر توسط یک فرمیون اشغال می­گردد.

تابع توزیع احتمال متناظر با این، توزیع مشهور فرمی دیراک است: چون تابع توزیع به اسپین بستگی ندارد، می­توان نوشت.

پارامتر پتانسیل شیمیائی است که در دمای صفر درجه با انرژی فرمی برابر است.

در این دما تابع فرمی به صورت زیر تبدیل می­شود.

در صورتی که احتمال اشغال تمامی حالت­های ممکن با هم جمع شوند، به دلیل اینکه در هر حالت حدّاکثر یک الکترون می­تواند وجود داشته باشد، تعداد کلّ ذرّات N در سیستم برابر است با: (2-1) مقدار پتانسیل شیمیائی به گونه­ای است که در هر دما و انرژی، معادله­ی بالا صادق ­باشد.

چگالی حالت­ها را می­توان با کاربرد معادله­ی شرودینگر برای الکترون­های غیر اندرکنشی به دست آورد.

جواب این معادله برای الکترون­های آزاد در یک شبکه تناوبی به حجم به صورت زیر است: با اعمال شرایط تناوبی "بورن ون کارمن[1] "[81] مقادیر بردارهای موج و ویژه مقادیر انرژی به صورت زیر به دست می­آید: (2-2) که مقادیر را اختیار می­کنند.

از آنجا که بازه­ی بین دو مقدار مجاز بردار موج برابر است()، در این صورت حجمی از فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای داده(شکل2-1) برابر است با (2-3) (تصاویر در فایل اصلی موجود است) شکل2-1 )نمائی از حجم­های فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای ­داده­اند.

از طرف دیگر می­توان را به صورت روبرو نوشت: با جانشینی از رابطه 2-3 رابطه­ی زیر به دست می­آید: به دلیل اینکه با حجم نیم­رسانای حجیم نسبت عکس دارد و برای این نیم­رسانا، تعداد زیادی از حالت­های الکترونی با فواصل خیلی نزدیک به هم در یک حجم کوچک وجود دارند، تبدیل جمع به انتگرال امکان پذیر است.

عنصر دیفرانسیلی حجم در فضای سه بعدی برابر است.

با استفاده از رابطه­ی 2-1 و با جایگذاری انتگرال به جای و احتساب اسپین، داریم: (2-4) می­توان انتگرال­گیری بر روی k را با انتگرال روی انرژی جانشین کرد.

که در آن، چگالی حالت­ها وارد شده است.

مفهوم چگالی حالت­ها برای درک پاسخ نوری در نیم­رساناها حائز اهمیت است و بیان می­کند که بین و چه تعداد حالت قرار گرفته است.

(2-5) (تصاویر در فایل اصلی موجود است) (2-6) با استفاده از رابطه 2-2 چگالی حالت­ها برای یک نیم­رسانای حجیم به صورت زیر بدست می­آید.

(2-7) ملاحظه می­شود که چگالی حالت­ها برای نیم­رساناهای سه بعدی حجیم با تناسب دارد.

نیم­رسانای سه بعدی (تصاویر در فایل اصلی موجود است) چگالی حالت­ها برای یک جامد سه بعدی با متناسب است.

2-1-2 محاسبه چگالی حالت­ها در لایه­های نازک نیم­رسانا با حل معادله شرودینگر برای لایه نازک واقع در صفحه xy، ویژه مقادیر انرژی به صورت زیر به دست می­آید .

همانگونه که دیده می­شود، انرژی ذرّات، در راستای عمود بر لایه کوانتیده است.

(2-8) با اعمال شرایط تناوبی در دو بعد، سطحی از فضای وارون که یک نقطه را در خود جای می­دهد برابر است با: شکل2-3) نمائی از سطوح فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای داده­اند.

به دلیل بزرگ بودن مقدار A و نزدیک بودن حالت­ها در صفحه­ی xy به یکدیگر، تبدیل جمع به انتگرال در صفحه مجاز می­باشد بنابراین می­توان نوشت: برای تبدیل به انتگرال در رابطه­ی 2-1 به صورت زیر عمل می­شود(توجّه شود که در اینجا منظور از N تعداد کل الکترون­ها در صفحه و بنابراین n نیز چگالی سطحی الکترون­ها است) : (2-9) با برقراری تساوی، مانند رابطه 2-5 رابطه­های زیر به دست می­آید: و داریم 3 با استفاده از رابطه انرژی 2-8 می­توان نوشت: نیم ­رسانای دو بعدی (جداول و نمودار در فایل اصلی موجود است) شکل2-4)چگالی حالت­ها در نیم رسانای دوبعدی چون انرژی کل ذرّه، درون یک چاه پتانسیل نامتناهی که توسط معادله2-8 ارائه شده، با عدد کوانتومی تغییر می­کند، برای هر مقدار از یک نوار انرژی سهمی شکل در جهت وجود دارد.

در نتیجه ترازهای انرژی در جهت از نوارهای سهموی که از یکدیگر به اندازه مجزا هستند تشکیل شده­اند.

هر یک از این نوارها یک چگالی ثابت ایجاد می­کند.

در نتیجه چگالی حالت­های یک ذرّه منفرد در انرژی مساوی معادله زیر است: که در آن تابع پله­ای برای تأکید بر این مطلب است که حالت­ها از شروع می­شوند.

0 (ب) (الف) شکل2-5)"الف" سهمی­های متناظر با مقادیر مجزا.

"ب" چگالی حالت­های ذرّه [32].

2-1-٣ چگالی حالت­ها در نانو سیم­ها اگر فرض شود که سیم در راستای محور y است، با حل معادله شرودینگر داریم: که ترازهای انرژی و کوانتیده­اند.

با بهره­گیری از مقدار مجاز k در یک بعد و به دلیل مجاز بودن تبدیل جمع به انتگرال در راستای محور y، با تکرار مراحل قبلی، نتیجه روبرو حاصل می­شود: و از آنجا که: چگالی حالت­ها برای حالت یک بعدی رابطه زیر است: پس می توان گفت در یک نانو سیم چگالی حالت­ها با تناسب دارد: (جداول و نمودار در فایل اصلی موجود است) شکل2-6)چگالی حالت­ها در نیم رسانای یک بعدی.

2-1-4 چگالی حالت­ها در یک نقطه کوانتومی دریک نانوذرّه بدلیل حبس کامل حامل­های بار، انرژی در هر سه بعد کوانتیده می­باشد: (2-10) از طرفی داشتیم (2-11) با توجه به رابطه­های 2-10 و 2-11 به هنگام محاسبه­ی چگالی حالت­ها در نانوذرّات، به بینهایت بر می­خوریم.

پس انتظار داریم که چگالی حالت­ها در آن­ها به توابع دلتا بانجامد[32]: اکنون می­توان چگالی حالت­ها را برای نانومواد و ماده توده­ای با یکدیگر مقایسه نمود: نقطه کوانتومی نانوسیم لایه نازک بلور حجیم انرژی چگالی حالتها (جداول و نمودار در فایل اصلی موجود است) مودار چگالی حالت ­ها بر حسب انرژی در مواد سه، دو، یک و صفر بعدی.

در حالت سه بعدی تراز های انرژی پیوسته است.

در نانوذرّات چگالی حالت­ها ترازهای جداگانه­ای را تشکیل می­دهند.

2-2 ابزارهای تحلیل نانوذرّات در فصل­های آینده از آنالیز های طیف گسیلی، جذب نوری، پراش اشعه­ی ایکس، میکروسکوپ الکترونی و مغناطومتر نیروی گرادیان برای مطالعه خواص نانوذرّات تولیدی استفاده خواهد شد.

از آنجا که تحلیل نتایج این آنالیزها در فاز نانو با فاز توده­ای تفاوت دارد، داشتن درک کامل از پشتوانه نظری آن­ها ضروی می­باشد.

برای مثال هنگامی که در نقش پراش اشعه ایکس نانوذرّات، بر خلاف مواد حجیم، قلّه­های پهن مشاهده می­شوند، بدون آگاهی از پشتوانه­ی نظری این پدیده، نمی­توان ساختار بلوری نانوبلورهای تولیدی را تشخیص داد.

همچنین در فصل آینده از برخی فرمول­ها برای محاسبه اندازه ذرّات استفاده خواهد شد که در این فصل معرفی می­شوند.

در فصلهای آینده از آنالیزهای طیف گسیلی، جذب نوری، پراش اشعهی ایکس، میکروسکوپ الکترونی و مغناطومتر نیروی گرادیان برای مطالعه خواص نانوذرّات تولیدی استفاده خواهد شد.

از آنجا که تحلیل نتایج این آنالیزها در فاز نانو با فاز تودهای تفاوت دارد، داشتن درک کامل از پشتوانه نظری آنها ضروی میباشد.

برای مثال هنگامی که در نقش پراش اشعه ایکس نانوذرّات، بر خلاف مواد حجیم، قلّههای پهن مشاهده میشوند، بدون آگاهی از پشتوانهی نظری این پدیده، نمیتوان ساختار بلوری نانوبلورهای تولیدی را تشخیص داد.

همچنین در فصل آینده از برخی فرمولها برای محاسبه اندازه ذرّات استفاده خواهد شد که در این فصل معرفی میشوند.

2-2-1 آنالیز طیف گسیلی به فرایندی که طی آن، مادّه نورتاب از حالت برانگیخته به حالت پایه باز گردد و نورتابی کند(فوتون ساطع کند) لومینسانس گویند.

تابشگرهای لومینسانس بر اساس چشمهای که انرژی برانگیختگیشان را تأمین میکند به فوتولومینسانس، کمولومینسانس، الکترولومینسانس و سونولومینسانس دستهبندی میگردند.

در این تقسیمبندی، انرژی برانگیختگیِ نمونه به ترتیب از فوتون، واکنش شیمیائی، میدان الکتریکیِ اعمالی و امواج صوتی تأمین میگردد[82].

تکنیک فوتولومینسانس (که نمونه توسط طول موج مناسب تحریک شده و نور گسیلی مورد مطالعه قرار میگیرد) از تکنیکهائی است که به دلیل غیرمخرّب بودن، بینیازی به آمادهسازی نمونه و حسّاسیّت بسیار زیاد، در فیزیک نیمرساناها پرکاربرد است و اطلاعات دقیقی از ناخالصیها و نواقص بلوری مواد بدست میدهد[83].در این پایاننامه بوسیله این تکنیک، خواص نورتابی نیمرساناهای نانواندازهی آلائیده و غیر آلائیده مورد مطالعه قرار میگیرد.

تکنیک فوتولومینسانس به صورتهای گوناگون تقسیمبندی میگردد.

در PL معمولی، از یک طول موج و در PLE از گسترهای از طول موجها برای برانگیختن نمونه استفاده میشود.

در PLE طول موجهای ناشی از گزارهای مختلف، در طیف گسیل ظاهر میشود.

در ادامه، اصولی که در فهم پدیدههای نورتابی مهم میباشند معرفی خواهند شد.

2-2-1-1 اصول نورتابی وقتی مولکولی انرژی کافی دریافت کند، الکترون از بالاترین اربیتال اشغال شده به پائینترین اربیتال اشغال نشده برانگیخته میشود.

از مکانیک کوانتومی داریم که اگر اسپین دو الکترون در جهت مخالف یکدیگر باشند(اسپین کل برابر صفر)، حالت برانگیخته "یگانه" و در حالتی که اسپین دو الکترون موازی باشند(در این حالت اسپین کل برابر 1 است و ویژه حالتها، تبهگنی سه گانه دارند) حالت برانگیخته"سه گانه" تشکیل میشود.

شکل2-8) نمائی از حالتهای پایه و برانگیختهی یگانه و سهگانه.

وقتی مولکولِ برانگیخته، به حالت پایه باز گردد، انرژی آزاد شده به صورت گسیل فوتون و یا گرما ظاهر میشود.

نرخ بازترکیبهای همراه با گسیل فوتون را با و نرخ واپاشیهای بدون گسیل فوتون(گرمائی) را با نمایش میدهند.

بهره کوانتومی لومینسانس، نسبت فوتونهای گسیل شده به کل فوتونهای جذب شده تعریف میگردد.

همچنین زمان عمر، متوسط زمانی است که قبل از بازگشت به حالت پایه، در حالت برانگیخته صرف میشود[82].

نمودار جابلونسکی(شکل2-9) توصیف سادهای از انتقالات نورتاب و غیرنورتاب که در جریان بازگشت مولکولِ برانگیخته به حالت پایه رخ میدهد را ارائه میکند[84].

در این نمودار، ترازهای S حالتهای برانگیختهی یگانه و ترازهای T حالتهای برانگیختهی سهگانه را نمایش میدهند.

شکل2-9 )در جریان باز گشت الکترون به حالت پایه یک و یا چند تا از انتقالهای تبدیل داخلی، عبور بین سیستمی، استراحت ارتعاشی، فلورسنس و فسفرسانس رخ میدهد[84].

پس از برانگیخته شدن الکترون، ممکن است که یک و یا چند تا از انتقالهای تبدیل داخلی، عبور بین سیستمی و استراحت ارتعاشی، که در آنها، انرژی به صورت گرما آزاد میشود رخ دهد.

تبدیل داخلی، انتقال بین حالتهای برانگیخته با اسپین یکسان را گویند.

استراحت ارتعاشی، فرایندی است که در آن، مولکول در یک حالت برانگیخته به پائینترین تراز ارتعاشی میرسد.

عبور بین سیستمی، انتقال بین حالتهای برانگیخته با اسپین مخالف میباشد.

دو فرایند فلورسانس و فسفرسانس نیز وجود دارند که انتقال سیستم همراه با گسیل فوتون است و در زیر معرفی میشوند.

فلورسانس، گسیل فوتون در بازگشت مولکول از حالتهای یگانهی برانگیختگی(S) به حالت پایه میباشد.

اصل طرد پائولی چنین فرایندی که الکترون بازگشتی با الکترون پایه جفت شده است را مجاز میداند بنابراین زمان عمر فلورسانس، کوتاه و از تا ثانیه است[86 ، 85].

فسفرسانس گسیلی است که در اثر انتفال مولکول از حالت برانگیختهی سهگانه به حالت پایه انجام میشود.