فصل اول : مقدمه موضوعی و تاریخی
I) ضرورت آمار در تحقیق علمی :
روش های محاسبه و استنباط آماری از مبانی ضروری تحقیق علمی هستند .
اما این حقیقت نه تنها برای مردم عادی بلکه غالباً برای دانشجوی مبتدی چنان که باید ، روشن نیست .
تصور عامه این است که آمار نوعی تفنن در محاسبه و به کار بردن فرمول هاست و ماند فرمول های ریاضی محض که همگان بدان رغبت ندارند ممکن است محاسبات آماری هم دارای فایده آشکار و عملی نباشد .
علت اصلی این ابهام و ناآشنایی آن است که عامه مردم ( و مبتدی در تحصیل علم ) ممکن است به نحوی از نتایج و قواعد علمی با خبر شوند و از صورت کلی و مختصر و تقریبی آنها آگاهی یابند ، اما به دقایق و جزئیات ، از جمله به منطق تحقیق و چگونگی تشکیل حقیقت علمی ، پی نمی برند و ناچار متوجه نمی شوند که ضرورت آمار در علم به عنوان وسیله تحقیق از کجاست .
سپس ساده ترین راه نشانی دادن ضرورت و فایده آن این است که مراحل عمده و تحقیق را به اجمال تشریح کنیم .
II) مختصر تاریخ تحول آمار :
مطالعه تاریخ تحولهر علم ، جز فواید کلی که از نظر شناخت موجبات پیدایش و جهات توسعه آن در بر دارد ، به لحاظ درک بعضی خصوصیات موضوعی آن علم نیز حائز اهمیت است .
مطالعه سیر تکاملی علم آمار را از قرن هفدهم همزمان با پیدایش و توسعه حساب احتمالات در ریاضیات می توان آغاز کرد وسه دوران در آن تشخیص داد .
توسعه و تحول ریاضیات در قرن های شانزدهم و هفدهم از لحاظ تاریخ آمار قابل توجه است و به این جهت این دو قرن دوران نخستین تحول این علم را تشکیل می دهد .
در دوران دوم که شامل قرن هجدهم و قرن نوزدهم است ، اصول احتمالات به تدریج به کار برده شدند و بدین لحاظ این دوران را می توان سرآغاز رشته های مختلف آمار عملی دانست .
دوران حاضر از اواخر قرن نوزدهم شروع می شود و خصوصیت عمده آن گسترش اصول نظری و موارد استعمال عملی آمار درهمه علوم و فنون است .
III) پایه گذاری آمار و ریاضی :
تئوری احتمالات نه تنها مبنای اصولی علم آمار است .
به طوری که در مقدمه ذکر شد - بلکه مقدمه تاریخی این علم را نیز تشکیل می دهد .
حساب احتمالات از مطالعه فرایندهای تصادفی مانند بازی با ورق و تاس نرد و نظایر اینها شروع شده است .
توجه به اینگونه فرایندها و علاقه به پیشگویی پیشامدهای برگزیده در بازیهای تصادفی ( مثلاً ورق برنده یا خال معین از تاس نرد و مانند اینها ) البته همیشه وجود داشته است ، ولی گمان نمی رود که قبل از بازگشت ( رنسانس ) علمی در اروپای قرن شانزدهم و هفدهم درباره اصول نظری احتمال مطالعه منظم کرده شده باشد.
در آثار چند تن از دانشمندان ایتالیایی قرون پانزدهم و شانزدهم مانند پاچیولو و فونتانا معروف به تار تاگلیا و مخصوصاً کاردانو و گالیله مطالعاتی در محاسبه احتمال پیشامدهای تصادفی وجود دارد .
وی تحقیقات استقرایی و نظری منظم درباره فرایندهای احتمالی در قرن هفدهم ، و تألیف اصول و قواعد ریاضی حساب احتمالات واقعاً در قرن هفدهم و هجدهم صورت گرفته است .
پاسکال و فرما دو دانشمند فرانسوی به خواهش یکی از اشرافیان فرمان به احتمال برد و باخت در بازی های تصادفی راغب شده بودند .
قواعد اساسی احتمال پیشامدهای ساده و مرکب را این دو وضع کرده اند .
از آن جمله قاعده تشکیل « مثلث پاسکال » یا د« مثلث حسابی » است که به وسیله آن می توان احتمال دو پیشامد p و q را در ترکیبات n تایی به دست آورد .
روش پاسکال در این مطالعات یک روش نیمه استقرایی ( هندسی ) و نیمه انتزاعی ( ریاضی ) بود .
دانشمندان دیگری اصول و قواعد حساب احتمالات را به صورت کامل تر تدوین کرده اند .
برنویی و نیوتن از آن جمله اند .
توزیع دو جمله ای نیوتن روش کلی حساب احتمالات پیشامدهای q و p در ترکیبات n تایی را به دست می دهد و در واقع قاعده کلی تشکیل مثلث پاسکال را بیان می کند .
پیش از نیوتن ، وییت و بریگز به توزیع دو جمله ای پی برده بودند .
اما نیوتن راه حل جبری مسئله را نشان داد و آن را به حالت هایی با n منفی و کسری تعمیم داد .
دو مواور در تحقیقی راجع به حالت های کلی دو جمله ای نیوتن به کشف فرمول منحنی خاصی که بعداً منحنی طبیعی نامیده شد موفق گردید .
فصل دوم : شمردن و سنجیدن I) داده های آزمایشی و انواع آن : داده های عددی که در محاسبه و تحلیل آماری مورد استفاده قرار می گیرند عموماً بر دو نوعند : فراوانی ها و اندازه ها .
یک حالت تبدیل پدیده های مورد تحقیق به اعداد آن است که تعداد آنها را بشماریم .
ارقامی که بدین ترتیب به دست می آوریم فراوانی خوانده می شوند .
مثلاً اگر عده شاگردان یک دبستان را بر حسب پایه تحصیلی هر یک بشماریم فراوانی شاگردان پایه های مختلف را به دست خواهیم آورد .
فراوانی نشان می دهد هر حالت یا نوع از پدیده ای در جمعیت یا نمونه مورد تحقیق چند بار وجود دارد .
نوع دیگر داده های عددی که اندازه نامیده می شود بیشی یا کمی یک حالت یا شیء را بر حسب یک مقیاس اندازه گیری نشان می دهد .
مثلاً اگر به جای شمردن عده شاگردان هر پایه ، سن یا مهارت خواندن و نوشتن یا بهره هوشی هر شاگرد را معین کنیم عمل سنجش یا اندازه گیری انجام داده ایم .
اعدادی که از سنجش پدیده ای حاصل می شود بیش یا کمی آن پدیده را نشان می دهند .
برای سنجیدن هر چیز به مقیاس سنجش یا اندازه گیری مناسبی نیازمندیم و اعدادی که با انیعمل به دست می آوریم کمیت یا کیفیت پدیده را بر حسب آن مقیاس معین می کنند .
روش های آماری با هر دو نوع داده های عددی یعنی شماره ها و اندازه ها سروکار دارند .
II) فراوانی - درصد : عده افرادی که در هر طبقه قرار می گیرند فراوانی آن طبقه نامیده می شوند .
اگر از شاگردان یک کلاس 25 نفری 18 نفر در آزمایشی قبول شوند و 7 نفر رد شوند ، فراوانی طبقه قبول شدگان 18 و فراوانی طبقه رد شدگان 7 می باشد فراوانی ، یک داده آماری خام به شمار می آید .
در بررسی آماری آن را به مقادیر دیگری تبدیل می کنیم که وضع هر طبقه را روشن تر بیان می کند .
از جمله این مقادیر می توان درصد را نام برد .
برای توضیح بیشتر این مطلب به جدول مطابق نمونه توجه کنید .
این جدول از تحقیقی دراعتبار امتحان ورودی دانشگاههای ایران در سال 1343 برداشته شده است .
برای مقایسه نتیجه امتحان ورودی داوطلبان با وضع تحصیل آنان در پایه دوازدهم ، نمونه ای به تعداد 3436 تن از داوطلبان ورودی عمومی دانشگاههای ایران در سال 1343 انتخاب شده اند .
این نمونه تقریباً عده کل داوطلبان امتحان ورودی آن سال را تشکیل می دهد.
سپس عده انتخاب شده از لحاظ معدل کل دیپلم دبیرستان به 5 دسته طبقه بندی می شوند که به شرح زیر است : بسیار ضعیف ( کسانی که معدل کل دیپلم آنان بین 00، 10 و 11،99 است ) ضعیف ( کسانی که معدل کل دیپلم آنان بین 00 ، 12 و 13،99 است ) متوسط ( کسانی که معدل کل دیپلم آنان بین 14،00 و 15،99 است ) خوب ( کسانی که معدل کل دیپلم آنان بین 16،00 و 17،99 است ) بسیار خوب ( کسانی که معدل کل دیپلم آنان بین 18،00 و 19،99 است ) آنگاه عده قبول شدگان و رد شدگان در هریک از این پنج طبقه شمرده شده است چنان که در جدول 2 خواهید دید .
جدول 1- عده قبول شدگان و رد شدگان نمونه ای از داوطلبان امتحان ورودی عمومی دانشگاههای ایران در سال 1343 ، بر حسب معدل کل دیپلم دبیرستان آنان .
دستور محاسبه درصد : تعریف و روش محاسبه درصد با استفاده از نشانه های آماری به این صورت بیان می شود : اگر فراوانی کل طبقه را N و فراوانی گروه خاصی را که می خواهیم درصد آن را نسبت به فراوانی کل طبقه حساب کنیم f و درصد را P نشان دهیم .
بر حسب تعریف دستور فوق به دست می آید .
مثلاً : در جدول 1 درصد قبول شدگان در طبقه ( بسیار خوب ) چنین محاسبه می شود .
به همین مقیاس درصد قبول شدگان در طبقه ( بسیار ضعیف ) مساوی است با : % علامت درصد چنین است : % .
این علامت درست راست مقدار درصد قرار می گیرد مانند نمونه های ذکر شده در بالا .
فصل سوم : توزیع فراوانی I) جدول های توزیع فراوانی : جدولی که داده های عددی را هنگام آزمایش بر آن ثبت می کنیم جدول داده ها خواهیم نامید .
در این جدول داده ها به صورتی که با روش یا موضوع آزمایش نسبت مناسب داشته باشد ثبت می شوند .
مثلاً : نمره های عده ای را که در یک جدول بوده و در آزمایشی شرکت کرده بودند به ترتیب اجرای آزمایش یا به ترتیب الفبای نام آزمایش شدگان یا به ترتیب تصحیح و نمره گذاری ورقه آزمایش در جدول وارد می کنیم .
این جدول دارای دو ستون است که در یکی نام آزمایش شدگان و یا علامتی که آنها را مشخص می کند و در دیگری نمره آزمایش شدگان را می نویسیم .
جدول ذکر شده یک آزمایش استعداد یکیرا که 50 تن در آن شرکت کرده اند به این صورت نشان می دهد .
در جدول 2 آزمایش شدگان به ترتیب اعداد 1 تا 50 مشخص کرده ایم .
تنها فایده ای که از این جدول می توانیم برد این است که در این آزمایش عدد 55 ( مربوط به آزمایش شده بیست و ششم ) بیشترین و نمره 10 ( مربوط به آزمایش بیست و چهارم ) کمترین نمره هاست و نیز از این حد بالا و حد پایین می توانیم پی ببریم که دامنه کلی تغییرات نمره ها چقدر است .
یعنی نمره های آزمایش شده در چه فاصله ایاز مقیاس نمره گذاری واقع شده اند .
II) مشخص کردن تعداد طبقات و فاصله طبقات : معمولاً تعداد طبقات را بین 5 تا 20 طبق در نظر می گیریم و برای مشخص کردن تعداد طبقات و فاصله طبقات از روابط زیر استفاده می شود .
IV) مشخص کربن شروع طبقه بندی : شروع طبقه بندی با کوچکترین اندازه یا داده که در عین حال بر فاصله طبقات نیز بخش پذیر باشد آغاز می گردد .
مثال ) : اگر کوچکترین داده 63 و فاصله طبقات 8 باشد شروع طبقه با 56 می باشد .
IV) مشخص کردن فراوانی هر طبقه : برای این کار کافی است تعداد خط نشانه های هر طبقه را شمرده جلوی آن یادداشت کنیم.
مثال ) : داده های زیر مربوطند به نتیجه اندازه گیری استعداد ریاضی 30 نفر از دانش آموزان کلاس .
این داده ها را با فاصله طبقاتی 3 طبقه بندی کرده و در جدول 3 نشان می دهیم .
و جدول توزیع و فراوانی آن را مشخص می نماییم .
- 2/22 - 28- 14- 5/7 - 20- 31- 26- 5/28 : داده ها عبارتند از 15- 18- 31- 6/29 - 2/19 - 17- 5/20 - 7/26 32- 26- 18- 14- 20- 37- 31- 26- 5/21- 8 7- 28- 5/30- 5/28 R = ( 37-8 ) +1 = 30 K = جدول 3- توزیع فراوانی استعداد 30 نفر از دانش آموزان جدول 2- داده های عددی آزمایش استعداد کلی که در گروه 50 نفری انجام گرفته است V) مشخص کردن نماینده طبقات (( عدد میانی )) xi : از روابط زیر بدست می آید : 2/ ( حد بالای طبقه + حد پایین طبقه )xi = اختلاف نماینده طبقات در هر جدول برابر است با فاصله طبقات آن جدول .
VI) کرانه طبقات : حدود واقعی هر طربقه از 5/0 واحد کمتر و تا 5/0 واحد بیشتر است .
مثلاً حدود واقعی 12 برابر است با 5/11 و 5/12 .
در جدول هایی که به صورت پیوسته تنظیم می شوند حدود طبقات و کرانه طبقات با هم یکی هستند .
شیوه طبقه بندی فراورده های ناپیوسته : در مورد داده های ناپیوسته کافیست نخست طبقات را مشخص نموده آنگاه فراوانی هر طبقه را تعیین نماییم و سپس جدول مربوطه را رسم کنیم .
انواع فراوانی : 1) فراوانی مطلق (f) : ازطریق شمارش خط نشانه