دانلود مقاله توابع و تابع ها

توابع

مفاهیم اساسی

مفهوم تابع

طبق تعریفی که اویلر در 1749 به دست داده است , تابع اغلب به عنوان کمیت متغیر variable quantity  ی که وابسته به کمیت متغیر دیگری است توضیح داده می شود.

تعریفی چنین از مفهوم تابع برای مقاصد بسیاری کفایت می کند , اما در دوران گسترش بیشتری از ریاضیات آشکار شد که دادن محتوی عمومیتر و مجردتری به مفهوم تابع هم ضروری هم سودمند است .

ماهیت این مفهوم وابستگی کمیتها نیست که معمولاً مراد از آنها اعداد است , که میتوانند در رابطه «کمتر از یا بزرگتر از » مقایسه شوند , بلکه خود واقعیت تناظر correspondence است , که بر مبنای آن اشیای معینی به عنوان تخصیص یافته به اشیای معین دیگر در نظر گرفته می شود.

به این ترتیب مفهوم تابع به تعاریف مجموعه نظریه ای set – theoretical definitions  تحویل شده است .

تناظرها .

هر میله فلزی هنگامی که گرم شود تغییر می کند .

به عنوان مثال , فرض می کنیم یک میله مسی در 0 C به طور l0=200 واحد طول , u , مثلاً سانتیمتر یا اینچ باشد , در این صورت l , طول آن در درجه حرارت t0C توسط (t0.000016 +1)200=l مشخص می شود .

با این فرمول formula هر مقدار t بین 00C و 0C100 در تناظر با طول lی بین u200 و u200.32 قرار داده شده است .

به همین ترتیب با هر مقدار کالا مبلغ معینی پول , به عنوان قیمت فروش آن , متناظر است , و با هر شماره صفحه این کتاب , عددی متناظر است که تعداد حروف واقع در آن صفحه را بیان می کند .

تناظرها نه تنها بین اعداد , بلکه بطور عمومی تر , بین عنصرهای aی واقع در مجموعه A و عنصرهای bی واقع در مجموعه B وجود دارند ; به عنوان مثال , هر صندلی نمایش یک تئاتر متناظر با یک بلیط ورودی و یک تماشاچی خاص است .

به این ترتیب , تناظر مورد بحث توسط رابطه ی Fی تعریف شده بر B    A با حوزه تعریف  AD(F) و برد BR(F) معین می شود .

اگر نسبت به این رابطه F به هر عنصر a از حوزه D(F) آن یک و تنها یک عنصر b از برد R(F) آن متناظر باشد , در این صورت رابطه را تک مداری single-value می گویند و در این صورت از تابع function یا نگاشت mapping از مجموعه A بتوی into مجموعه B صحبت می کنیم ( شکل )

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

عنصر b از برد تابع متناظر با عنصر نخستین a''original'' از حوزه آن را نگاره یا تصویر a''image'' می نامیم .

در نتیجه تابع f مجموعه ای از جفتهای مرتب ''ordered pairs'' (a,b)ای است که عنصر اول آنها متعلق به حوزه تعریف D(F) و عنصر دوم آنها متعلق به برد R(F) است .

در مورد نگاشت از A بتوی B داریم ; D(F)=A یعنی , هر عنصر a  A به عنوان عنصری نخستین رخ میدهد , و در مورد نگاشت از A بروی B ''onto'' , علاوه بر این , هر عنصرBb به عنوان نگاره ای مطرح می شود.

عنصر yی را که توسط تابع f به عنصر x تخصیص داده شده است , اغلب با f(x) نمایش می دهیم و در این صورت تناظر مورد بحث y=f(x)   x نوشته می شود.

عنصر x را شناسه یا آرگومان ''argument'' و عنصر متناظر y آن را مقدار تابع f(x) ''function value'' در نقطه x می نامند .

حوزه تعریف ''domain of definition'' ( یا تنها حوزه ) تابع x   y =f(x) را با X و برد آن را با Y نمایش می دهیم .

اگر f تابعی از A بتوی B باشد , آنگاه واضحاً A X و BY .

نمایش توابع

برای توصیف یک تابع باید حوزه تعریف و برد آن و قاعده ای برای تناظر به دست بدهیم .

نمودار.

در نمودار تابع حوزه و برد از لحاظ نموداری نمایش داده می شوند و تناظر مربوطه با پیکانهایی مشخص می شود ( شکل ) .

از هر عنصر حوزه تنها یک خط سودار خارج می شود , اما ممکن است یکی یا بیش از یکی از این خطها به هر عنصر برد ختم شود.

 

حوزه تعریف

جدول مقادیر .

قاعده تناظر را می توان به جای استفاده از نمودار در جدول مقادیر نیز قرار داد ( شکل ) .

عنصرهای حوزه را در سطر بالای جدول وارد می کنیم و زیر هر یک , عنصر متناظر آن از برد را قرار می دهیم .

جدول مقادیر تنها می تواند تعدادی متناهی از جفتهای مرتب را به دست دهد , و برای توصیف کامل تابع دلخواه F کفایت نمی کند .

توضیح با کلمات .

اگر حوزه و برد یک تابع متناهی نباشد یا آنقدر وسیع باشند که دیگر نمایش نمودار یا جدول مقادیر آن بر صفحه کاغذ ممکن نباشد , در این صورت دادن توصیف دقیق  ''exact description'' حوزه و برد , همراه با قاعده ای که به ازای هر عنصر حوزه بتوان عنصر متناظر آن از برد را به دست آورد , کافی است .

تابع را میتوان بدون استفاده از نمادهای ریاضی , به کمک جمله ای به زبان روزمره , بطور کامل تعریف کرد, به عنوان مثال , در صورتی که به هر مسابقه تقسیم بندی اول لیگ فوتبالی خارج قسمت تعداد بلیتهای ورودی و تعداد سکنه محلی که مسابقه در آنجام برقرار می شود را متناظر کنیم , تابعی را تعریف کرده ایم .

این تابع می تواند اطلاع معینی از علاقه ای را به دست دهد که عامه مردم در بازیهای خاص نشان می دهند .

مثالهای بسیاری از قواعد تناظر می توان یافت که کلاً یا جزئاً با کلمات تنظیم شده اند.

نمودار مختصاتی .

نمودار مختصاتی ''diagram'' نیز یک تابع را نمایش می دهد اگر مجموعه ای از اعداد محور افقی را به عنوان حوزه تعریف و مجموعه ای از اعداد محور قائم را به عنوان برد انتخاب کرده به آرگومان x از حوزه تعریف دقیقاً آن مقدار از y را تخصیص دهیم که به ازای آنها نقطه با مختصات y, x نقطه ای از نمودار باشد .

اما , هر خم بدلخواه رسم شده در یک دستگاه مختصات را نمی توان به عنوان نمایش تابع در نظر گرفت .

تناظر داده شده به کمک خم باید تک مقداری ''single-valued'' باشد, و این درحالتی است که خم نمودار مختصاتی مورد بحث توسط هر خط موازی محور قائم حداکثر در یک نقطه قطع شده باشد .

فرمول.

بیشترین روش به کار رفته در نمایش یک تابع در ریاضیات فرمول است.

در این روش عناصر حوزه و برد تنها عددها , یا دست کم اشیای ریاضی ''mathematical objects'' اند که در مورد آنها میتوان قاعده های محاسبه '' rules of calculation ''ی  مناسب به دست داد , به عنوان مثال :

(فرمول ها در فایل اصلی موجود است)

y=sinx  (3)                  ( 2)                                   y=7x+2 (1)

در صورتیکه معلومات خاصی در مورد حوزه تعریف تابع نداده باشند , معمولاً آن اعدادی را متعلق به آن در نظر می گیریم که به آنها بتوان با استفاده از فرمول مورد بحث مقدار معینی منسوب کرد .

این اعداد در حالت (1 ) و (3) جمیع اعداد حقیقی اند , و در حالت ( 2 ) جمیع اعداد حقیقی بزرگتر از یا برابر با 4 .

در این صورت برد مربوطه توسط موارد زیر داده می شود : 

در صورتیکه معلومات خاصی در مورد حوزه تعریف تابع نداده باشند , معمولاً آن اعدادی را متعلق به آن در نظر می گیریم که به آنها بتوان با استفاده از فرمول مورد بحث مقدار معینی منسوب کرد .

در این صورت برد مربوطه توسط موارد زیر داده می شود : (3) (2) (1) محدودیت حوزه تعریف .

حوزه تعریف را میتوان بدلخواه محدود کرد , به عنوان مثال , ( به ازای ) * y=7x+2 (1) ( به ازای ) **y=7x+2 (2) و غیره .

در اینصورت برد مربوطه توسط موارد زیر داده می شود : 37> y 19- * (1) و 2 > y > 54- ** (2) در اینجا این موضوع اساسی است که , طبق تعریف مفهوم تابع , (1) , *(1) و ** (1) توابع کاملاً متفاوتی را نمایش می دهند .

زیرا دو مجموعه اگر دقیقاً دارای عنصرهای یکسان باشند برابرند , به همین ترتیب , دو تابع f2 ,f1 اگر دقیقاً هر جفت عنصر (x,y)ی که متعلق به f1 اند، , متعلق به f2 نیز باشند , و برعکس , برابرند و در حالت توابع (1) و , *(1) و ** (1) چنین نیست .

نمایش نموداری .

از معادله تابع اغلب می توان به کمک جدولی از مقادیر به نمایش شهودی تابع مورد بحث رسید .

به کمک یک دستگاه مختصات مسطح , نقطه P از آن صفحه برای اینکه نظیر هر جفت عدد (x,y) باشد بنا می شود و کلیت نقاط p به نمودار تابع موسوم است .

بنا به ماهیت حوزه تعریف و معادله تابع , دنباله ای از نقطه های مجزا , قسمتهایی جداگانه از خمها یا خم تابعی ''function curve'' متصلی را به دست می آوریم .

صورت صریح .

صورت y=A(x) معادله یک تابع , که در آن A(x)عبارتی دلخواه است که , علاوه بر متغیر x , تنها شامل اعداد یا عناصر حوزه عددی مبنایی است , به صورت صریح ''explicit form'' از این حقیقت مشخص می شود که هر دو متغیر دست کم در یک طرف معادله رخ می دهند , به عنوان مثال : Y=sinx .

siny + x2(3) xy=1;(2) 4x-2y=6; (3) = x2+xy+yx(5) x2+y2=16; (4) اگر معادله تابعی به صورت صریح نمایش داده شده باشد , آنگاه معمولاً متغیری را که در یک طرف معادله مجزا شده است به عنوان وابسته و دیگری را به عنوان مستقل در نظر می گیریم , و اینکه این دو با t ,s; v, u; y,x یا به هر طریق دیگر نمایش داده شده باشند دارای اهمیت نیست .

اما کار در صورت ضمنی همواره چنین آشکار نیست , و هنگامی که y , x به کار رفته باشند , معمول آن است که y را به عنوان متغیر وابسته در نظر بگیریم , اما اغلب ذکر قرارداد گذاشته شده ضروری است , بخصوص زمانی که متغیرهای دیگر نیز به کار رفته باشند .

اما, این نیز ممکن است که هر دو متغیر واقع در یک معادله ضمنی را در موقعیتی یکسان در نظر بگیریم .

توجه به این موضوع مهم است که معادله داده شده در صورت ضمنی را میتوان همواره به صورت صریح مرتب کرد .

این کار در مثالهای (1) و (2) بسادگی انجام پذیر است , در این مورد به دست می آوریم : y=1/x ( 2) y=2x-3 ( 1) اما مثالهای (3) و (5) تمام کوششهای مربوط به انجام این کار را با شکست روبه رو می کند .

در هر دو مثال نه y نه x را نمی توان مجزا کرد , واقعیت دیگری را آشکارا توسط مثال (4) نشان داده ایم .

واضح است که x2 + y2=16 معادله دایره ای به شعاع 4 به مرکز مبدأ دستگاه مختصات است .

در این حالت به ازای هر مقدار x دو مقدار y موجودند که در معادله صدق می کنند .

با در نظر گرفتن y به عنوان متغیر وابسته , تناظری تعریف شده است که تک مقداری نیست .

به این دلیل ( 4) معادله تابع نیست .

از طرف دیگر, صورت صریح یک تابع را نمایش می دهد .

اما تصور آن تنها شامل نیمدایره بالاست .

معادله تابع متعلق به نیم دایره پایین عبارت است از : گاهی دو تابع را به صورت ترکیب می کنیم .

اما در نظر گرفتن این طریق از نوشتن آن به صورت معادله تابعی که چند مقداری ''many-valued'' است خطاست , توابع , بنا به تعریف , تناظرهایی تک مقداری اند.

نمایش پارامتری .

این نمایش در وهله اول با دو معادله تابعی صریح سروکار دارد , که هر یک از آنها تابعی را مشخص می کند .

حوزه تعریف در هر دو حالت یکی است .

به این ترتیب , در صورت کلی داریم : اکنون اگر به هر x0=f1(t0) مقدار y0=f2(t0) را تخصیص دهیم نگاشتی از برد f1 بروی برد f2 به دست می آوریم , که البته نیاز به تک مقداری بودن ندارد .

توابع مرکب .

اگر عنصر a , تحت نگاشت G , متناظر با عنصر b , و عنصر b تحت نگاشت دیگر F , متناظر با عنصر c باشد , آنگاه با استفاده از کاربرد متوالی دو نگاشت G, F , نگاشتی را به دست می آوریم که تحت آن عنصر a متناظر با عنصر c